基于波導(dǎo)介電網(wǎng)絡(luò)的偏微分方程求解

逍遙設(shè)計(jì)自動化

引言
偏微分方程(PDE)是數(shù)學(xué)、物理和工程學(xué)中的基礎(chǔ),可用于描述從熱傳遞到電磁波傳播等多種現(xiàn)象。雖然簡化情況下存在閉式解,但求解任意PDE通常需要有限差分或有限元等數(shù)值技術(shù)。這些計(jì)算方法雖然強(qiáng)大,但往往耗時耗資源。

本文介紹了創(chuàng)新的基于電磁(EM)波的結(jié)構(gòu),用于模擬計(jì)算并能夠求解PDE,特別是亥姆霍茲波動方程。通過利用互連波導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)并裝載精心設(shè)計(jì)的介電板,可以模擬電子線路元件,以光速進(jìn)行高速計(jì)算[1]。


網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)與理論
PDE求解結(jié)構(gòu)的核心是由平行板波導(dǎo)組成的網(wǎng)絡(luò),波導(dǎo)中裝載了薄介電板。這些波導(dǎo)和介電板的排列模擬了T型線路,形成網(wǎng)格狀的連接點(diǎn)。關(guān)鍵見解是,這個網(wǎng)絡(luò)中的電流分布控制方程類似于亥姆霍茲波動方程的有限差分表示。

圖1: (a) 單個節(jié)點(diǎn)的等效線路表示。(b) 模擬T型線路的波導(dǎo)介電結(jié)構(gòu)。(c) 3x3網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值模擬結(jié)果。
. s% n( ?9 [0 e
為了求解PDE,設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)使T型線路元件的阻抗值對應(yīng)于亥姆霍茲方程中的系數(shù)。并聯(lián)阻抗Zp與空間采樣參數(shù)h相關(guān),而串聯(lián)阻抗Zs對應(yīng)波數(shù)k。通過控制這些阻抗,我們可以調(diào)整網(wǎng)絡(luò)以求解特定的PDE。

* R2 {6 Q# Y  d$ I! o每個波導(dǎo)連接點(diǎn)中心的面外磁場(Hz)代表了該點(diǎn)PDE的解。通過測量整個網(wǎng)絡(luò)的Hz,我們可以重建方程的完整解。

縮放與分辨率
PDE解的分辨率取決于網(wǎng)絡(luò)中連接點(diǎn)的數(shù)量和選擇的h值。在保持h不變的情況下增加網(wǎng)絡(luò)大小,可以在相同的模擬空間內(nèi)獲得更高分辨率的解�；蛘�,在保持網(wǎng)絡(luò)大小不變的情況下減小h,可以在更小的模擬空間內(nèi)提供更高分辨率。

圖2: (a) 任意大小網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)表示。(b) 更大波導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)的3D視圖。(c-e) 25x25網(wǎng)絡(luò)在不同條件下的Hz場分布數(shù)值結(jié)果。
$ G8 K+ `0 A" V, H$ Q
( A- v) \6 j. H3 E% F$ G圖2展示了如何擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)以更詳細(xì)地求解PDE。通過調(diào)整阻抗值,我們可以有效地"放大"解的特定區(qū)域,如面板(d)和(e)之間的對比所示。
: }3 g5 P5 z* w6 Z
求解狄利克雷邊界值問題
7 z; S- [1 F+ D4 _) {$ A& ^1 [5 d& O通過精確控制邊界波導(dǎo)的輸入信號,結(jié)構(gòu)可以求解狄利克雷邊界值問題。使用結(jié)構(gòu)的散射矩陣來計(jì)算產(chǎn)生所需邊界條件的入射信號。

$ f. j# ~! _' u8 X  B圖3: (a,c) 具有不同狄利克雷邊界條件的25x25網(wǎng)絡(luò)示意圖。(b,d) (a)和(c)中情景的分析、理論和數(shù)值結(jié)果。

, S* [0 e8 E6 e( F- k圖3展示了兩個狄利克雷邊界值問題的例子。在第一種情況(a,b)中,將左邊界設(shè)為g=1,其他邊界設(shè)為g=0,模擬駐波。第二個例子(c,d)展示了一個更復(fù)雜的邊界條件,周邊相位變化。
- w4 s* u* G3 K/ h. J: c
  \* R4 g) V$ F5 I6 [開放邊界值問題
+ g# H8 K& B6 }1 e% `7 K3 J通過將模擬空間擴(kuò)展到感興趣區(qū)域之外,該結(jié)構(gòu)還可以處理開放邊界值問題。這種擴(kuò)展允許波自然衰減,模仿計(jì)算電磁學(xué)中使用的完美匹配層(PML)的行為。
; r6 t3 C/ b: D0 b) F) O+ J
( n2 N6 k- B) q4 U0 ^! y圖4: (a,d) 用于開放邊界值問題的50x50子網(wǎng)絡(luò)示意圖。(b,e) 理論和分析功率分布結(jié)果。(c,f) (b)和(e)中特定線上的功率分布。
) s# U" ^4 q6 j: `
圖4呈現(xiàn)了兩個開放邊界問題的例子:聚焦/透鏡(a-c)和粒子散射(d-f)。這些演示展示了我們的結(jié)構(gòu)如何在開放系統(tǒng)中模擬復(fù)雜的EM現(xiàn)象。

實(shí)施與實(shí)際考慮
# W1 _. J- F, t# w2 ~為實(shí)現(xiàn)這種PDE求解結(jié)構(gòu),使用充滿空氣并裝載薄介電板的平行板波導(dǎo)。波導(dǎo)形成網(wǎng)格狀網(wǎng)絡(luò),連接點(diǎn)作為PDE解的采樣點(diǎn)。精心設(shè)計(jì)介電板以模擬T型線路所需的阻抗值。

- T" ?+ C; @/ j9 B實(shí)施的關(guān)鍵考慮因素包括:

波導(dǎo)尺寸: 板間距離應(yīng)小于入射波長,以限制邊緣場。

介電板設(shè)計(jì): 板的厚度和介電常數(shù)決定有效阻抗值。

網(wǎng)絡(luò)大小: 更大的網(wǎng)絡(luò)提供更高分辨率的解,但需要更多計(jì)算資源進(jìn)行模擬。

邊界條件: 正確激勵邊界波導(dǎo)對解決特定問題至關(guān)重要。

頻率范圍: 雖然我們的例子集中在微波頻率,但這個概念可以適用于其他光譜范圍,包括光學(xué)頻率。
7 H: ?: L7 G- n4 r[/ol]
結(jié)論
4 S8 F# t3 g& \: f, k我們介紹了使用基于波導(dǎo)的介電網(wǎng)絡(luò)求解偏微分方程的創(chuàng)新方法。該方法利用電子線路和電磁波傳播之間的類比進(jìn)行高速模擬計(jì)算。通過精心設(shè)計(jì)裝載介電板的波導(dǎo)網(wǎng)絡(luò),我們可以求解復(fù)雜的PDE,包括狄利克雷和開放邊界值問題。
) j9 g$ m: R3 n% J) G
( K2 i4 N  m' S6 a這種方法的優(yōu)勢包括:

高速計(jì)算:解在材料內(nèi)以光速計(jì)算。

可擴(kuò)展性:網(wǎng)絡(luò)可以擴(kuò)展以提供更高分辨率的解。

靈活性:通過調(diào)整介電元件的阻抗值,可以求解不同的PDE。

集成潛力:這個概念可以適用于光電子集成芯片。
[/ol]
- p  s! ^+ T6 q演示集中在亥姆霍茲波動方程上,但這些原理可能擴(kuò)展到求解其他類型的PDE。這項(xiàng)研究為模擬計(jì)算開辟了新途徑,可能導(dǎo)致在各種科學(xué)和工程應(yīng)用中開發(fā)專門的PDE求解硬件加速器。

參考文獻(xiàn)
+ ?) |9 ^# v5 J5 F' N, K" H8 Q[1] R. G. MacDonald, A. Yakovlev and V. Pacheco-Pe?a, "Solving partial differential equations with waveguide-based metatronic networks," Advanced Photonics Nexus, vol. 3, no. 5, p. 056007, Sep./Oct. 2024.

5 V( m* I3 B. }3 eEND
6 B+ H) D% R9 R
, e  u! y" T/ x# C
  U9 E$ o0 m' |. W( G. w8 f軟件申請我們歡迎化合物/硅基光電子芯片的研究人員和工程師申請體驗(yàn)免費(fèi)版PIC Studio軟件。無論是研究還是商業(yè)應(yīng)用，PIC Studio都可提升您的工作效能。
點(diǎn)擊左下角"閱讀原文"馬上申請
. Q! j0 x0 _' p4 _9 |$ c
; ?0 ]3 Q5 U5 Y" h& _歡迎轉(zhuǎn)載
3 r; J- j- q* X' I) m
3 |; e, P6 Y- m( Y轉(zhuǎn)載請注明出處，請勿修改內(nèi)容和刪除作者信息！
9 x4 ~' y: t/ F3 q3 M
2 }* d2 r7 h* L  s: t

- S; n; R, F9 }2 Y
4 o) u$ F/ j, H8 j8 Y/ k5 A# ]0 y8 F9 c
關(guān)注我們

1 U6 b; o( @3 [1 s  k

, c/ D, i6 W$ [' Y: Z& Z8 ~ + l- a# y/ a0 J( d: x

# r, Y" {; L6 x5 n 8 Y5 s7 K, S' Z8 o7 a. k$ [3 O3 _3 h9 k

                     
+ R# N6 k/ f+ A
& `' n+ A, B& b" r

9 H+ u" I/ C3 ~1 }8 [# N關(guān)于我們：
深圳逍遙科技有限公司（Latitude Design Automation Inc.）是一家專注于半導(dǎo)體芯片設(shè)計(jì)自動化（EDA）的高科技軟件公司。我們自主開發(fā)特色工藝芯片設(shè)計(jì)和仿真軟件，提供成熟的設(shè)計(jì)解決方案如PIC Studio、MEMS Studio和Meta Studio，分別針對光電芯片、微機(jī)電系統(tǒng)、超透鏡的設(shè)計(jì)與仿真。我們提供特色工藝的半導(dǎo)體芯片集成電路版圖、IP和PDK工程服務(wù)，廣泛服務(wù)于光通訊、光計(jì)算、光量子通信和微納光子器件領(lǐng)域的頭部客戶。逍遙科技與國內(nèi)外晶圓代工廠及硅光/MEMS中試線合作，推動特色工藝半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)鏈發(fā)展，致力于為客戶提供前沿技術(shù)與服務(wù)。

4 k6 I+ I( N: _* O/ x( I4 R. Chttp://www.latitudeda.com/
* c) K7 H5 F2 n3 U; Q（點(diǎn)擊上方名片關(guān)注我們，發(fā)現(xiàn)更多精彩內(nèi)容）