基于波導(dǎo)介電網(wǎng)絡(luò)的偏微分方程求解

逍遙設(shè)計(jì)自動(dòng)化

引言
偏微分方程(PDE)是數(shù)學(xué)、物理和工程學(xué)中的基礎(chǔ),可用于描述從熱傳遞到電磁波傳播等多種現(xiàn)象。雖然簡化情況下存在閉式解,但求解任意PDE通常需要有限差分或有限元等數(shù)值技術(shù)。這些計(jì)算方法雖然強(qiáng)大,但往往耗時(shí)耗資源。
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) i) P/ g, [- a0 W本文介紹了創(chuàng)新的基于電磁(EM)波的結(jié)構(gòu),用于模擬計(jì)算并能夠求解PDE,特別是亥姆霍茲波動(dòng)方程。通過利用互連波導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)并裝載精心設(shè)計(jì)的介電板,可以模擬電子線路元件,以光速進(jìn)行高速計(jì)算[1]。

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網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)與理論
PDE求解結(jié)構(gòu)的核心是由平行板波導(dǎo)組成的網(wǎng)絡(luò),波導(dǎo)中裝載了薄介電板。這些波導(dǎo)和介電板的排列模擬了T型線路,形成網(wǎng)格狀的連接點(diǎn)。關(guān)鍵見解是,這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的電流分布控制方程類似于亥姆霍茲波動(dòng)方程的有限差分表示。

3 s: ?+ e* ]4 ~1 A6 [# G圖1: (a) 單個(gè)節(jié)點(diǎn)的等效線路表示。(b) 模擬T型線路的波導(dǎo)介電結(jié)構(gòu)。(c) 3x3網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值模擬結(jié)果。
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為了求解PDE,設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)使T型線路元件的阻抗值對(duì)應(yīng)于亥姆霍茲方程中的系數(shù)。并聯(lián)阻抗Zp與空間采樣參數(shù)h相關(guān),而串聯(lián)阻抗Zs對(duì)應(yīng)波數(shù)k。通過控制這些阻抗,我們可以調(diào)整網(wǎng)絡(luò)以求解特定的PDE。

每個(gè)波導(dǎo)連接點(diǎn)中心的面外磁場(Hz)代表了該點(diǎn)PDE的解。通過測量整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的Hz,我們可以重建方程的完整解。

縮放與分辨率
0 g! O" l5 A6 X  ?5 w) SPDE解的分辨率取決于網(wǎng)絡(luò)中連接點(diǎn)的數(shù)量和選擇的h值。在保持h不變的情況下增加網(wǎng)絡(luò)大小,可以在相同的模擬空間內(nèi)獲得更高分辨率的解。或者,在保持網(wǎng)絡(luò)大小不變的情況下減小h,可以在更小的模擬空間內(nèi)提供更高分辨率。
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0 d! W3 e* ]+ b* P圖2: (a) 任意大小網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)表示。(b) 更大波導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)的3D視圖。(c-e) 25x25網(wǎng)絡(luò)在不同條件下的Hz場分布數(shù)值結(jié)果。

, M) ]  q" {- Y1 V$ I/ X& [圖2展示了如何擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)以更詳細(xì)地求解PDE。通過調(diào)整阻抗值,我們可以有效地"放大"解的特定區(qū)域,如面板(d)和(e)之間的對(duì)比所示。
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求解狄利克雷邊界值問題
通過精確控制邊界波導(dǎo)的輸入信號(hào),結(jié)構(gòu)可以求解狄利克雷邊界值問題。使用結(jié)構(gòu)的散射矩陣來計(jì)算產(chǎn)生所需邊界條件的入射信號(hào)。
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圖3: (a,c) 具有不同狄利克雷邊界條件的25x25網(wǎng)絡(luò)示意圖。(b,d) (a)和(c)中情景的分析、理論和數(shù)值結(jié)果。

圖3展示了兩個(gè)狄利克雷邊界值問題的例子。在第一種情況(a,b)中,將左邊界設(shè)為g=1,其他邊界設(shè)為g=0,模擬駐波。第二個(gè)例子(c,d)展示了一個(gè)更復(fù)雜的邊界條件,周邊相位變化。

- ]& H: h- F/ C4 U' r0 n開放邊界值問題
通過將模擬空間擴(kuò)展到感興趣區(qū)域之外,該結(jié)構(gòu)還可以處理開放邊界值問題。這種擴(kuò)展允許波自然衰減,模仿計(jì)算電磁學(xué)中使用的完美匹配層(PML)的行為。
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圖4: (a,d) 用于開放邊界值問題的50x50子網(wǎng)絡(luò)示意圖。(b,e) 理論和分析功率分布結(jié)果。(c,f) (b)和(e)中特定線上的功率分布。
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圖4呈現(xiàn)了兩個(gè)開放邊界問題的例子:聚焦/透鏡(a-c)和粒子散射(d-f)。這些演示展示了我們的結(jié)構(gòu)如何在開放系統(tǒng)中模擬復(fù)雜的EM現(xiàn)象。

/ z1 t2 d1 Z  X2 q0 q* c實(shí)施與實(shí)際考慮
為實(shí)現(xiàn)這種PDE求解結(jié)構(gòu),使用充滿空氣并裝載薄介電板的平行板波導(dǎo)。波導(dǎo)形成網(wǎng)格狀網(wǎng)絡(luò),連接點(diǎn)作為PDE解的采樣點(diǎn)。精心設(shè)計(jì)介電板以模擬T型線路所需的阻抗值。
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實(shí)施的關(guān)鍵考慮因素包括:

波導(dǎo)尺寸: 板間距離應(yīng)小于入射波長,以限制邊緣場。

介電板設(shè)計(jì): 板的厚度和介電常數(shù)決定有效阻抗值。

網(wǎng)絡(luò)大小: 更大的網(wǎng)絡(luò)提供更高分辨率的解,但需要更多計(jì)算資源進(jìn)行模擬。

邊界條件: 正確激勵(lì)邊界波導(dǎo)對(duì)解決特定問題至關(guān)重要。

頻率范圍: 雖然我們的例子集中在微波頻率,但這個(gè)概念可以適用于其他光譜范圍,包括光學(xué)頻率。
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結(jié)論
我們介紹了使用基于波導(dǎo)的介電網(wǎng)絡(luò)求解偏微分方程的創(chuàng)新方法。該方法利用電子線路和電磁波傳播之間的類比進(jìn)行高速模擬計(jì)算。通過精心設(shè)計(jì)裝載介電板的波導(dǎo)網(wǎng)絡(luò),我們可以求解復(fù)雜的PDE,包括狄利克雷和開放邊界值問題。

這種方法的優(yōu)勢(shì)包括:

高速計(jì)算:解在材料內(nèi)以光速計(jì)算。

可擴(kuò)展性:網(wǎng)絡(luò)可以擴(kuò)展以提供更高分辨率的解。

靈活性:通過調(diào)整介電元件的阻抗值,可以求解不同的PDE。

集成潛力:這個(gè)概念可以適用于光電子集成芯片。
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3 e6 |) r* ]# y) y3 ~& r% `演示集中在亥姆霍茲波動(dòng)方程上,但這些原理可能擴(kuò)展到求解其他類型的PDE。這項(xiàng)研究為模擬計(jì)算開辟了新途徑,可能導(dǎo)致在各種科學(xué)和工程應(yīng)用中開發(fā)專門的PDE求解硬件加速器。

參考文獻(xiàn)
[1] R. G. MacDonald, A. Yakovlev and V. Pacheco-Pe?a, "Solving partial differential equations with waveguide-based metatronic networks," Advanced Photonics Nexus, vol. 3, no. 5, p. 056007, Sep./Oct. 2024.
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