你認為0.9999999……等于1嗎？

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! R; P' f2 k* `5 u0.999...確實等于1，從代數(shù)、級數(shù)求和到極限，乃至于實數(shù)的完備性，都證明了這一點。
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數(shù)學上 0.999... 和1是相等的
在實數(shù)數(shù)學體系下，0.999...（即無限循環(huán)的9）確實等于1。這是因為在數(shù)學上，“無限接近”在極限的概念中可以被認為是等價于達到。
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這里我們可以用幾個經(jīng)典的方法來說明：

$ d! A) V$ y& n& k/ J" M: A( S方法一：代數(shù)方法

/ `. P9 e8 ~! ~$ X, F  z方法二：級數(shù)求和

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* D! Z1 q$ H2 v( b/ r; p1 P: |' g方法三：極限思想
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$ \; Y8 E4 L" q7 b數(shù)學上的一致性：實數(shù)的完備性
# L$ u& G3 ^  {( h+ a在實數(shù)的構(gòu)造中，任意接近的數(shù)都被視為相等，這稱為“完備性”特性。
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換句話說，實數(shù)沒有“差一點就不等”的模糊空間，因為在無限次循環(huán)逼近下，兩個數(shù)值差距可以無限小，趨近于零。
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因此，0.999... 和1實際上是同一個數(shù)。
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若 0.999... 與1不相等，就會破壞實數(shù)的定義，也就無法成立我們熟悉的許多基本數(shù)學定律。
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( _- W" |  t8 M# q為什么會有直覺上的矛盾？
: |/ ?3 H2 N( r4 |% g* o從心理學的角度看，這個問題讓人產(chǎn)生疑惑，主要是因為人們對“無窮”的理解存在偏差。
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在日常生活中，我們很少能遇到“無限”的概念，因此潛意識里會傾向于認為 0.999... 永遠“差那么一點點”到1。

, M% s3 R. t0 U& t但在數(shù)學上，無窮是可以被精確處理的概念，一旦理解到無限逼近其實意味著相等，矛盾就消失了。
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一個有趣的現(xiàn)實應(yīng)用：浮點數(shù)計算
現(xiàn)代計算機在浮點數(shù)運算中也必須處理類似0.999...的問題。

計算機使用的是有限精度的數(shù)值，因此在近似處理時常常直接將類似0.9999表示為1，以防止計算誤差的積累。

這并不是數(shù)學上“妥協(xié)”，而是計算機在有限精度范圍內(nèi)的合理近似。
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