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發(fā)表于 2017-1-9 22:37:40
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4. 如何設(shè)計系統(tǒng)?* h' @/ }3 Z9 U' p) X& ~9 G
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設(shè)計物理上的系統(tǒng)函數(shù)(連續(xù)的或離散的狀態(tài))，有輸入，有輸出，而中間的處理過程和具體的物理實現(xiàn)相關(guān)，不是這們課關(guān)心的重點(電子電路設(shè)計?)。信號與系統(tǒng)歸根到底就是為了特定的需求來設(shè)計一個系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)計出系統(tǒng)函數(shù)的前提是把輸入和輸出都用函數(shù)來表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一個復雜的信號分解為若干個簡單的信號累加，具體的過程就是一大堆微積分的東西，具體的數(shù)學運算不是這門課的中心思想。
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6 ?4 {! f6 j( O/ R* T g那么系統(tǒng)有那些種類呢?
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( e5 B8 v$ t+ @" _(a) 按功能分類: 調(diào)制解調(diào)(信號抽樣和重構(gòu))，疊加，濾波，功放，相位調(diào)整，信號時鐘同步，負反饋鎖相環(huán)，以及若干子系統(tǒng)組成的一個更為復雜的系統(tǒng)----你可以畫出系統(tǒng)流程圖，是不是很接近編寫程序的邏輯流程圖? 確實在符號的空間里它們沒有區(qū)別。還有就是離散狀態(tài)的數(shù)字信號處理(后續(xù)課程)。
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(b) 按系統(tǒng)類別劃分，無狀態(tài)系統(tǒng)，有限狀態(tài)機，線性系統(tǒng)等。而物理層的連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)，是一種復雜的線性系統(tǒng)。* _& Q! c, ?9 c
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5. 最好的教材?1 y9 L, @4 R6 F
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符號系統(tǒng)的核心是集合論，不是微積分，沒有集合論構(gòu)造出來的系統(tǒng)，實現(xiàn)用到的微積分便毫無意義----你甚至不知道運算了半天到底是要作什么。以計算機的觀點來學習信號與系統(tǒng)，最好的教材之一就是<<Structure and Interpretationof Signals and Systems>>， 作者是UC Berkeley的Edward A.Leeand Pravin Varaiya----先定義再實現(xiàn)，符合人類的思維習慣。國內(nèi)的教材通篇都是數(shù)學推導，就是不肯說這些推導是為了什么目的來做的，用來得到什么，建設(shè)什么，防止什么；不去從認識論和需求上討論，通篇都是看不出目的的方法論，本末倒置了。& f- g- C7 }( @& Z& o$ W+ z
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第三課：抽樣定理是干什么的？
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3 V) u; w; o0 \2 o% a: b1. 舉個例子，打電話的時候，電話機發(fā)出的信號是PAM脈沖調(diào)幅，在電話線路上傳的不是話音，而是話音通過信道編碼轉(zhuǎn)換后的脈沖序列，在收端恢復語音波形。那么對于連續(xù)的說話人語音信號，如何轉(zhuǎn)化成為一些列脈沖才能保證基本不失真，可以傳輸呢? 很明顯，我們想到的就是取樣，每隔M毫秒對話音采樣一次看看電信號振幅，把振幅轉(zhuǎn)換為脈沖編碼，傳輸出去，在收端按某種規(guī)則重新生成語言。: q$ @0 z6 e) L$ ` A
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那么，問題來了，每M毫秒采樣一次，M多小是足夠的? 在收端怎么才能恢復語言波形呢?
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; ~, W5 N# h ]5 v對于第一個問題，我們考慮，語音信號是個時間頻率信號(所以對應的F變換就表示時間頻率)把語音信號分解為若干個不同頻率的單音混合體(周期函數(shù)的復利葉級數(shù)展開，非周期的區(qū)間函數(shù)，可以看成補齊以后的周期信號展開，效果一樣)，對于最高頻率的信號分量，如果抽樣方式能否保證恢復這個分量，那么其他的低頻率分量也就能通過抽樣的方式使得信息得以保存。如果人的聲音高頻限制在3000Hz，那么高頻分量我們看成sin(3000t)，這個sin函數(shù)要通過抽樣保存信息，可以看為: 對于一個周期，波峰采樣一次，波谷采樣一次，也就是采樣頻率是最高頻率分量的2倍(奈奎斯特抽樣定理)，我們就可以通過采樣信號無損的表示原始的模擬連續(xù)信號。這兩個信號一一對應，互相等價。9 a1 U+ V' ~' F+ C! y1 ?% s5 s
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對于第二個問題，在收端，怎么從脈沖序列(梳裝波形)恢復模擬的連續(xù)信號呢? 首先，我們已經(jīng)肯定了在頻率域上面的脈沖序列已經(jīng)包含了全部信息，但是原始信息只在某一個頻率以下存在，怎么做? 我們讓輸入脈沖信號I通過一個設(shè)備X，輸出信號為原始的語音O，那么I(*)X=O，這里(*)表示卷積。時域的特性不好分析，那么在頻率域 F(I)*F(X)=F(O)相乘關(guān)系，這下就很明顯了，只要F(X)是一個理想的，低通濾波器就可以了(在F域畫出來就是一個方框)，它在時間域是一個鐘型函數(shù)(由于包含時間軸的負數(shù)部分，所以實際中不存在)，做出這樣的一個信號處理設(shè)備，我們就可以通過輸入的脈沖序列得到幾乎理想的原始的語音。在實際應用中，我們的抽樣頻率通常是奈奎斯特頻率再多一點，3k赫茲的語音信號，抽樣標準是8k赫茲。
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8 ?5 Y4 P& f! a; a2. 再舉一個例子，對于數(shù)字圖像，抽樣定理對應于圖片的分辨率----抽樣密度越大，圖片的分辨率越高，也就越清晰。如果我們的抽樣頻率不夠，信息就會發(fā)生混疊----網(wǎng)上有一幅圖片，近視眼戴眼鏡看到的是愛因斯坦，摘掉眼睛看到的是夢露----因為不帶眼睛，分辨率不夠(抽樣頻率太低)，高頻分量失真被混入了低頻分量，才造成了一個視覺陷阱。在這里，圖像的F變化，對應的是空間頻率。/ q; z4 E) o& x5 o0 y
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話說回來了，直接在信道上傳原始語音信號不好嗎? 模擬信號沒有抗干擾能力，沒有糾錯能力，抽樣得到的信號，有了數(shù)字特性，傳輸性能更佳。
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什么信號不能理想抽樣? 時域有跳變，頻域無窮寬，例如方波信號。如果用有限帶寬的抽樣信號表示它，相當于復利葉級數(shù)取了部分和，而這個部分和在恢復原始信號的時候，在不可導的點上面會有毛刺，也叫吉布斯現(xiàn)象。; ]& [- I, ?* ~$ i9 v5 X
1 }& T6 u% A6 T" x& M7 T3. 為什么傅立葉想出了這么一個級數(shù)來? 這個源于西方哲學和科學的基本思想: 正交分析方法。例如研究一個立體形狀，我們使用x,y,z三個互相正交的軸: 任何一個軸在其他軸上面的投影都是0。這樣的話，一個物體的3視圖就可以完全表達它的形狀。同理，信號怎么分解和分析呢? 用互相正交的三角函數(shù)分量的無限和：這就是傅立葉的貢獻。+ H+ z6 i0 R5 |% N' Y: M2 x
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第四課：傅立葉變換的復數(shù)小波* Z) q$ A) Z# [5 D9 N
0 O5 J1 R& n) T% y- @說的廣義一點，"復數(shù)"是一個"概念"，不是一種客觀存在。( Y" S) i( k, k% \ Z
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什么是"概念"? 一張紙有幾個面? 兩個，這里"面"是一個概念，一個主觀對客觀存在的認知，就像"大"和"小"的概念一樣，只對人的意識有意義，對客觀存在本身沒有意義(康德: 純粹理性的批判)。把紙條的兩邊轉(zhuǎn)一下相連接，變成"莫比烏斯圈"，這個紙條就只剩下一個"面"了。概念是對客觀世界的加工，反映到意識中的東西。
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數(shù)的概念是這樣被推廣的: 什么數(shù)x使得x^2=-1? 實數(shù)軸顯然不行，(-1)*(-1)=1。那么如果存在一個抽象空間，它既包括真實世界的實數(shù)，也能包括想象出來的x^2=-1，那么我們稱這個想象空間為"復數(shù)域"。那么實數(shù)的運算法則就是復數(shù)域的一個特例。為什么1*(-1)=-1? +-符號在復數(shù)域里面代表方向，-1就是"向后，轉(zhuǎn)!"這樣的命令，一個1在圓周運動180度以后變成了-1，這里，直線的數(shù)軸和圓周旋轉(zhuǎn)，在復數(shù)的空間里面被統(tǒng)一了。
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% S5 b) \+ u1 T, F1 p因此，(-1)*(-1)=1可以解釋為"向后轉(zhuǎn)"+"向后轉(zhuǎn)"=回到原地。那么復數(shù)域如何表示x^2=-1呢? 很簡單，"向左轉(zhuǎn)"，"向左轉(zhuǎn)"兩次相當于"向后轉(zhuǎn)"。由于單軸的實數(shù)域(直線)不包含這樣的元素，所以復數(shù)域必須由兩個正交的數(shù)軸表示--平面。很明顯，我們可以得到復數(shù)域乘法的一個特性，就是結(jié)果的絕對值為兩個復數(shù)絕對值相乘，旋轉(zhuǎn)的角度=兩個復數(shù)的旋轉(zhuǎn)角度相加。高中時代我們就學習了迪莫弗定理。為什么有這樣的乘法性質(zhì)?不是因為復數(shù)域恰好具有這樣的乘法性質(zhì)(性質(zhì)決定認識)，而是發(fā)明復數(shù)域的人就是根據(jù)這樣的需求去弄出了這么一個復數(shù)域(認識決定性質(zhì))，是一種主觀唯心主義的研究方法。為了構(gòu)造x^2=-1，我們必須考慮把乘法看為兩個元素構(gòu)成的集合:乘積和角度旋轉(zhuǎn)。
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( |4 _! \' u; E7 j6 q8 g# U% j: A因為三角函數(shù)可以看為圓周運動的一種投影，所以，在復數(shù)域，三角函數(shù)和乘法運算(指數(shù))被統(tǒng)一了。我們從實數(shù)域的傅立葉級數(shù)展開入手，立刻可以得到形式更簡單的，復數(shù)域的，和實數(shù)域一一對應的傅立葉復數(shù)級數(shù)。因為復數(shù)域形式簡單，所以研究起來方便----雖然自然界不存在復數(shù)，但是由于和實數(shù)域的級數(shù)一一對應，我們做個反映射就能得到有物理意義的結(jié)果。
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5 {- d( }, X! S/ [3 y8 P# j那么傅立葉變換，那個令人難以理解的轉(zhuǎn)換公式是什么含義呢? 我們可以看一下它和復數(shù)域傅立葉級數(shù)的關(guān)系。什么是微積分，就是先微分，再積分，傅立葉級數(shù)已經(jīng)作了無限微分了，對應無數(shù)個離散的頻率分量沖擊信號的和。傅立葉變換要解決非周期信號的分析問題，想象這個非周期信號也是一個周期信號: 只是周期為無窮大，各頻率分量無窮小而已(否則積分的結(jié)果就是無窮)。那么我們看到傅立葉級數(shù)，每個分量常數(shù)的求解過程，積分的區(qū)間就是從T變成了正負無窮大。而由于每個頻率分量的常數(shù)無窮小，那么讓每個分量都去除以f，就得到有值的數(shù)----所以周期函數(shù)的傅立葉變換對應一堆脈沖函數(shù)。同理，各個頻率分量之間無限的接近，因為f很小，級數(shù)中的f，2f，3f之間幾乎是挨著的，最后挨到了一起，和卷積一樣，這個復數(shù)頻率空間的級數(shù)求和最終可以變成一個積分式：傅立葉級數(shù)變成了傅立葉變換。注意有個概念的變化：離散的頻率，每個頻率都有一個"權(quán)"值，而連續(xù)的F域，每個頻率的加權(quán)值都是無窮小(面積=0)，只有一個頻率范圍內(nèi)的"頻譜"才對應一定的能量積分。頻率點變成了頻譜的線。( L3 v; ]8 \, {
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因此傅立葉變換求出來的是一個通常是一個連續(xù)函數(shù)，是復數(shù)頻率域上面的可以畫出圖像的東西?那個根號2Pai又是什么? 它只是為了保證正變換反變換回來以后，信號不變。我們可以讓正變換除以2，讓反變換除以Pi，怎么都行。 |
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